Question

如图,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点。△BCF和△CDH都是直角三角形

如图,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点。△BCF和△CDH都是直角三角形。AE的中点是M。
1.如图1，点E在AC的延长线上，点M与C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH
2.将图一中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2
求证：△FMH是等腰直角三角形。

Answer 1

1是2的特款（旋转角＝0º）。直接证明2
设CB＝a（向量）,BF＝a', CD＝b. DH＝b'
有a²＝a'²＝b²＝b'², aa'＝bb'＝0.a'b＝ab'.ab＝-a'b'[向量数积.下面都是向量计算。]
注意CBMD是菱形。FM＝EB+BM＝-a'+b. HM＝HD+DM＝-b'+a
FM²＝a'²-2a'b+b²＝b'²-2b'a+a²＝HM² ∴|FM|＝|HM|
FM•HM＝a'b'+ba＝0 ∴FM⊥HM,,得到：△FMH是等腰直角三角形。

Answer 2

1是2的特款（旋转角＝0º）。直接证明2
设CB＝a（向量）,BF＝a', CD＝b. DH＝b'
有a²＝a'²＝b²＝b'², aa'＝bb'＝0.a'b＝ab'.ab＝-a'b'[向量数积.下面都是向量计算。]
注意CBMD是菱形。FM＝EB+BM＝-a'+b. HM＝HD+DM＝-b'+a
FM²＝a'²-2a'b+b²＝b'²-2b'a+a²＝HM² ∴|FM|＝|HM|
FM•HM＝a'b'+ba＝0 ∴FM⊥HM,,得到：△FMH是等腰直角三角形。