Question

考试中! 函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1,1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5

1.确定函数f(x)的解析式
2.证明：f(x)在(-1,1)上是增函数
3.求满足f(t-1)+f(t)<0的t的取值范围

Answer 1

(1)
f（x）=(ax+b)/(x^2+1)是奇函数，f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/(x^2+1)=- (ax+b)/(x^2+1),
-ax+b=-ax-b, b=-b,
所以b=0.
又f(1/2)=2/5，所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.
∴f(x)=x/(x^2+1).
(2)
设任意-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

因为（1+x1^2）(1+x2^2)>0

x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)
=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(x2-x1)(x1x2-1)

(x2-x1)>0
(x1x2-1)<0

所以：f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
x1<x2
所以：f（x）在（—1，1）上是增函数

(3)f(0)=0,
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)<f(-t)
由已知得
-1<t-1<1
-1<-t<1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)

Answer 2

1、由函数为奇函数，得出f（0)=0,所以b=0
再将1/2带入得出a=1
2、设x1<x2<0，将f(x2)-f(x1)>0推出在（-1,0）为增函数，再由奇函数单调性，可以得出整个为增。
3、由于函数为增函数，故上式中的t》0.5