Question

高等数学上册试题及答案

Answer 1

高等数学上册试卷A卷
一 填空题（每题2分，共10分）
1． = ；
2. 设f (x)=e-x，则 = ；
3．比较积分的大小： ；
4. 函数 的单调减少区间为 ；
5. 级数 ，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半径是 ；
二、求不定积分（每小题4分，共16分）
1. ； 2． ； 3． ；
4. 已知 是f (x)的一个原函数，求 .
三、求定积分（每小题4分，共12分）
1． ； 2． ；
3．设 求
四、应用题（每小题5分，共15分）
1．计算由曲线y=x2，x=y2所围图形的面积；
2.由y=x3、x=2、y=0所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积.
3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g牛顿/米3 ）
五、求下列极限（每题5分，共10分）
1． ；
2. 设函数f (x)在(0，+∞)内可微，且f (x)满足方程 ，求f (x)。
六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）
1. ； 2. ； 3. ；
七、求解下列各题（每题5分，共10分）
1. 求幂级数 的收敛域及和函数；
2． 将函数 展开成（x+4）的幂级数。
八、证明题（第一小题5分，第二小题7分，共12分）
1．证明：设f (x)在〔0，1〕上连续且严格单调减少，证明：当0<? <1时，
2. 设有正项级数 ，且 。若级数 收敛，则级数 收敛；若级数 发散，则级数 发散。

高等数学上册试卷B卷
一 填空题（每题2分，共10分）
1． 级数 ，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半径是 ；
2．设 ，则g(x)= ；
3．比较大小： ；
4. = ；
5. 函数 的单调减少区间为 ；
二、计算下列各题（每小题4分，共28分）
1． ； 2． ； 3． ；
4． ； 5． ；
6．设 求
7．

三、几何应用题（每小题5分，共10分）
1．求曲线 与直线y=x及x=2所围图形的面积。
2．设D是由抛物线y=2x2和直线x=a，x=2及y=0所围成的平面区域，试求D绕x轴旋转而成的旋转体体积V。
四、物理应用题（每小题5分，共10分）
1．设一圆锥形贮水池，深10米，口径20米，盛满水，今用抽水机将水抽尽，问要作多少功?
2．有一矩形闸门，它底边长为10米，高为20米，上底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
五、求解下列各题（每题5分，共10分）
1. 已知 是f (x)的一个原函数，求 ；
2. 设函数f (x)在(0，+∞)内可微，且f (x)满足方程 ，求f (x)。

六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）
1. ； 2. ； 3. ；
七、求解下列各题（每题5分，共10分）
1. 求幂级数 的收敛域及和函数；
2． 将函数 展开成（x+4）的幂级数。
八、（7分） 设有正项级数 ，且 。若级数 收敛，则级数 收敛；若级数 发散，则级数 发散。

高等数学上册试卷C卷
一 求极限或判断极限是否存在(20分, 每题4分)
1. 2.
3. 4.
5.
二 求导数(20分, 每题4分)
1.求曲面 在点（1,－2, 2）的切平面和法线方程.
2.设 ,其中 具有二阶连续偏导, 求 .
3. 设 , 求 .
4. 设 , 求
5. 设 , 求 和
三 计算下列各题(15分, 每题5分)
1.求曲线 在点(1,-2,1)处的切线与法平面方程。
2．设一带电平板上的电压分布为 试问在点(1,2)处：
（1） 沿哪个方向电压升高最快？速率是多少？
（2） 沿哪个方向电压下降最快？速率是多少？
（3） 沿哪个方向电压没变化？

3．为计算长方形的面积A，今测出其边长分别为：1.732、3.21。若测出的边长值均有3位有效数字，试求出A的值及其绝对误差限，并指出A有几位有效数字。

四 (15分)
1． （8分）设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和y（单位：千件）。
利润函数为
已知生产这两种产品时，每千件产品均需要消耗某种原料2000千克，现有该原料12000千克，问两种产品各生产多少千件时总利润最大？最大利润是多少？

2．（7分）下表数据是某作物施肥量和产量的实验数据
施肥量(kg/公顷) 0 28 56 84
产量(t/公顷) 10.1 13.2 15.3 17.1
试利用二次插值，计算在施肥量为40kg/公顷时，产量近似值。
五 (15分)
1. (7分) 求通过直线 且垂直平面 的平面方程.
2. (8分) 设函数 由方程 确定, 试判断曲线 在点 附近的凹凸性.
六 证明题(15分)
1．（7分）设

证明 在(0,0)点可微。
2.(8分)设 在 上可导, 且 . 证明: 存在一点 , 使

高等数学下册试卷A卷
一、 填空（共10分，每小题2分）
1．设数项级数 收敛 收敛，则数项级数 ；
2．若级数 ，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半径是 ；
3．设设 是平面 在第一卦限部分上侧，用第一类曲面积分表示下列第二类曲面积分 ；
4． ，则 ；
5．写出 的特解形式 ．
二、计算下列各题（共10分，每题5分）
1．计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限内的部分．
2． ，其中 为 的外侧．
三、判断下列级数的敛散性（共15分，每题5分 ）
1． ； 2． ； 3． ．
四、计算下列各题（共15分）
1．求幂级数 的收敛区域及和函数（收敛域5分，和函数5分）
2．将 展开成（x+4）的幂级数（5分）．
五、（10分）以 为周期的函数 的傅氏级数
1．求系数a0，并证明 ；（5分）
2．求傅里叶级数的和函数S(x)在 上的表达式及 的值．（5分）
六、解下列各题（10分，每题5分）
1．求方程 的通解．
2．求方程 ，满足初始条件 的解．
七、（10分）设 具有二阶连续导数， ，且

为一个全微分方程，求 及此全微分方程的通解．
八、解下列各题（共10分，每题5分）
1．设二阶非齐次线性方程 的三个特解为： ，求此方程满足初始条件 的特解．
2．求方程 通解。
九、（10分）设空间有界闭区域 是由光滑闭曲面 围成，用平行 轴的直线穿过 内部时与其边界最多交于两点。 在闭区域 上具有一阶连续偏导数，证明

高等数学下册试卷B卷
一 求偏导数(24分)
1. 设 ，求dz.
2. 设 及 由方程组 确定，求 .
3. 设 具有二阶连续偏导数且满足 ，求 .
4. 设 ，求 .
二 求积分(24分)
1. 计算 ，其中D是以（0，0）、（1，1）、（0，1）为顶点的三角形区域.
2. 设L为y=x2上从（0,0）到（1,1）的一段，求 .
3. 设L为 上从 到 的一段弧，求 .

三 判别敛散性(10分)
1.
2.
四 (10分)
将 展成x的幂级数
五 求方程的解(10分)
1. 求方程 的通解.
2. 求 的通解

六 (10分)
求函数 在区域 上的最大和最小值.
七 (12分)
设 具有一阶连续偏导数，满足 ，求 所满足的一阶微分方程并求解.
高等数学下册试卷C卷
一、填空（每小题3分，共15分）
1．设 ，则
2． 。
3．设 是以 为周期的周期函数，在一个周期上的表达式为 ，则 的傅立叶系数 ＝ 。
4．已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 ，则该微分方程的最简形式为 。
5．已知 为圆周 ，则 = .
二、计算下列各题（共16分）
1． 2．
3． 4
三、计算下列各题（每小题5分，共20分）
1．计算 其中 。
2．曲面 是锥面 介于 之间的部分，其面密度为 ，计算曲面的质量
3．计算 ，其中 为从点 沿 的上半圆到点 的曲线弧。
4．计算积分 ，其中 为曲面 被平面 截下的有限部分的下侧。
四、解下列各题（共19分）
1．判断下列级数的敛散性（9分）
； ；
2．解下列各题（10分）
（1）求幂级数 的收敛半径。
（2）将函数 展开成 的幂级数。
五、解下列微分方程（每小题5分，共15分）
1．求 的通解。
2．求 的通解
3．已知： ，试确定函数 ，使曲线积分 与路径无关。
六、（7分）
在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，其净增长率为0.003 。从某时刻（t=0）开始，有一群鲨鱼来到这些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度与当时大马哈鱼总数的平方成正比，比例系数为0.001。而且，由于一个不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。
(1)建立数学模型以分析该海域大马哈鱼总数随时间的变化。
(2)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在 时会发生什么情况。

七、（8分）如果某地区AIDS病人数的净增长率为r，已知该地区在1988年有这种病人161个。①问：到2000年该地区这种病人的总数有多少？②若该地区每年为每个AIDS病人所提供的费用是m元。问：从1988~2000这12年间，该地区为这种病人所提供的总费用有多少？。