Question

一道二次函数应用题

某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现，年销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利（年获利=年销售额-生产成本-投资）为z万元
（1）试写出y与x之间的函数关系式
（2）试写出z与x之间的函数关系式
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价x元,应确定在什么范围

Answer 1

某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，年销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

y=20-1×（x-100）/10=20-x/10+10=30-x/10

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

z=xy-40y-500=x（30-x/10）-40（30-x/10）-500

=30x-x²/10-1200+4x-500=-x²/10+34x-1700

    （3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ 

z=-x²/10+34x-1700=-1/10（x-170）²+1190

x=160时，年获利z=-1/10×100+1190=1180万

当z=1180时

-1/10（x-170）²=-10

（x-170）²=100

x-170=10或-10

x=180或160

要获得同样的年获利，单价还可以定为180元，此时销售量y=30-180/10=30-18=12万件

第4问如图

Answer 2

解：依题意
(1) y=2o-(x-100)/10=30-x/10 x的范围小于300 且x/10取不大于x/10的最大整数 否则年销售量就为0或负不合实际
（2）z=x(30-x/10)-40(30-x/10)-500=(x-40)(30-x/10)-500
(3)当x=160时 由（2）得 z=1180
单价还可以定为 169元（精确到年） 此时获得年利润也为 1180 这时年销售量由（1）知 就为14万件
（4）第一年的z取最大为2720万元 销售单价为170元 由于第一年已经收回投资500万 所以第二年的年获利就该是 z=(x-40)(30-x/10) 大于等于1130
解得 x小于250
本题的所有x/10 都必须取不大于x/10的最大整数
出题相当不严密 这些题不须练得太多