Question

一道高数题的疑惑

第一行右边的式子是怎么得到第二行的式子的，为什么里面的sinx可以互换cosx，而f(x)为什么不变

Answer 1

分部积分
∫(0→π) (f(x)+f''(x))sinxdx
=∫(0→π) f(x)sinxdx+∫(0→π)f''(x)sinxdx
=∫(0→π) f(x)sinxdx+∫(0→π)sinxd(f'(x))
=∫(0→π) f(x)sinxdx+f'(x)sinx|(0→π)-∫(0→π)f'(x)d(sinx)......注意：第二个式子等于0
=∫(0→π) f(x)sinxdx-∫(0→π)f'(x)cosxdx
=∫(0→π) f(x)sinxdx-∫(0→π)cosxd(f(x))
=∫(0→π) f(x)sinxdx-[f(x)cosx|(0→π)-∫(0→π)f(x)d(cosx)]
=∫(0→π) f(x)sinxdx-[f(x)cosx|(0→π)+∫(0→π)f(x)sinxdx]
=∫(0→π) f(x)sinxdx-f(x)cosx|(0→π)-∫(0→π)f(x)sinxdx
=-f(x)cosx|(0→π)

Answer 2

积分和微分是可以转换的
∫ f'(x)dx=f(x)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
∫sinx=-cosx
∫cosx=sinx