Question

已知a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3，求abc的值

Answer 1

a+b+c=1,(1)
a^2+b^2+c^2=2,(2)
a^3+b^3+c^3=3(3)

由(1),所以a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1

再根据(2)，所以a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=5/2

又根据a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=5/2

得：3-3abc=5/2

所以abc=1/6

Answer 2

a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3

(a+b+c)^2=1^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2+2(ab+bc+ca)=1
ab+bc+ca=(1-2)/2=-1/2

(a+b+c)^3=1^3=1
a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2+3bc^2+6abc
=(a^3+b^3+c^3) + (3a^2b+3a^2c+3abc) + (3ab^2+3b^2c+3abc) + (3ac^2+3bc^2+3abc) - 3abc
=(a^3+b^3+c^3) + 3a(ab+ac+bc) + 3b(ab+bc+ac) + 3c(ac+bc+ab) - 3abc
=(a^3+b^3+c^3) + 3(ab+ac+bc)(a+b+c) - 3abc
=3+3*(-1/2)*1-3abc=1
3abc=3-3/2-1=1/2
abc=1/6

Answer 3

思路(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc),代入1=2+2(ab+ac+bc),则ab+ac+bc=-1/2
(a+b+c)^3展开，a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3，ab+ac+bc=-1/2一起代入，即可求出
太麻烦了，给个思路

Answer 4

将a+b+c=1两边平方，展开
得到a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1，
带入第二个式子得到ab+bc+ca = -1/2
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 1*(2+1/2) = 5/2
于是3-3abc = 5/2
abc = 1/6