Question

已知不等式a（x）平方+(a-1)x+a-1小于0，对所有实数x都成立，求a的取值范围

Answer 1

对于 ax²+(a-1)x+a-1<0，可设 y= ax²+(a-1)x+a-1
要使函数值小于0，a必小于0，这样函数有极大值，只要再使函数极大值小于0即可，
配方可得 y=a[x+(a-1)/2a]²+(a-1)(3a+1)/4a
当x=(a-1)/2a时，y有极大值=(a-1)(3a+1)/4a
令(a-1)(3a+1)/4a<0，因为分母4a<0, 所以必有分子
(a-1)(3a+1)>0, 可解得 a<-1/3

Answer 2

利用二次函数图像解答：对所有实数x都成立说明a不等于0且整个图像在X轴下方；则有：
a<0且判别式(a-1)平方-4*a*(a-1)<0
解得a的取值范围 a<-1/3

Answer 3

对于
ax²+(a-1)x+a-1<0，可设
y=
ax²+(a-1)x+a-1
要使函数值小于0，a必小于0，这样函数有极大值，只要再使函数极大值小于0即可，
配方可得
y=a[x+(a-1)/2a]²+(a-1)(3a+1)/4a
当x=(a-1)/2a时，y有极大值=(a-1)(3a+1)/4a
令(a-1)(3a+1)/4a<0，因为分母4a<0,
所以必有分子
(a-1)(3a+1)>0,
可解得
a<-1/3