Question

八年级上册数学题

已知三角形ABC，AD是BC上的高，CE是AB的中线，DG垂直于CE，G为垂足，CD=AE，求证：（1）G是CE的中点
（2）角B等于二倍的角ECB

Answer 1

(1)E为AB中点，连接DE，所以DE=AE=BE，所以DE=CD，DCE为等腰三角形，又G为底边CE的垂足，所以G是CE的中点
(2)由(1)可知BE=DE，∠B=∠EDB, ∠EDB+∠EDC=180 ∠EDC+∠DEC+∠ECD=180
所以∠EDB=∠DEC+∠DCE 又BE=CD ，所以∠DEC=∠DCE 所以∠B=∠EDB=2∠ECB

Answer 2

证明：1、连DE，在Rt△ADB中，DE为斜边AB的中线，等于斜边的一半，则：
DE=BE=AE，又CD=AE=BE，∴DE=CD，△CDE为等腰三角形
在等腰三角形CDE中，DG⊥CE，∴DG也是底边CE的中线，G为CE的中点。

2、同1，∠B=∠BDE
∠BDE=∠CED+∠ECD（∵三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）
又∠CED=∠ECD
∴∠B=2∠ECB

Answer 3

（1）添加一条辅助线DE，由于三角形ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=1/2AB=AE,因为CD=AE，所以DE=AE=CD,所以三角形EDC为等腰三角形，那么又因为DG是EC上的高，且等腰三角形底边上的高为该第边上的中线，所以G是CE的中点。提示：从DG垂直于CE这个条件，以及求证G是CE的中点来看，只有等腰三角形才会有中线与高重合的情况，所以想到要添加一条辅助线DE。
（2）由于上面求证出来三角形EDC为等腰三角形，且ED=DC，所以角BCE=角DEC，而角EDB=角BCE+角DEC，所以角EDB=2角ECB，又因为DE=BE，所以角B=角EDB，所以角B=2角ECB

Answer 4

(1) 连接DE，在直角三角形ADB中，E是AB中点，所以AE=BE=DE
又CD = AE 所以 DC = DE，
所以三角形DEC是等腰三角形，垂线DG平分底边，即G是CE中点。
(2)由(1)得到 ∠DEC = ∠DCE
因为三角形BED中，EB = ED
所以 ∠B = ∠EDB = ∠DEC + ∠DCE = 2∠ECB