Question

上海市闵行区2010届期末质量调严数学文答案

Answer 1

闵行区2009学年第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（文科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．
2．本试卷共有23道题，共4页.满分150分，考试时间120分钟．
3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留.
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的反函数 .
2． .
3．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克） 、 、 、 、 ，则该样本方差 .
4．已知集合 ， ，且 ，那么实数 的取值范围是 .
5．化简行列式 .
6．在右面的程序框图中，要求输出三个实数 中
最大的数，则在空白的判断框中应填的是 .
7．某校高二（8）班4位同学的数学期中、期末和平时成
绩依次用矩阵 表示，
总评成绩按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的
总和计算，则4位同学总评成绩的矩阵 可用
表示为 .
8．如图，直三棱柱 中， ，
， , ,则此三棱柱的主视图的
面积为 .
9．已知函数 ，若 ，则 .
10．在平面直角坐标系 中，以Ox轴为始边作锐角 ，其终边与单位圆相交于A点，
若A点的横坐标 ，则 的值为 .
11．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm，体积为 .
则制作该容器需要铁皮面积为 （衔接部分忽略不计， 取1.414，
取3.14，结果保留整数）.
12．已知无穷数列 ，其前 项和为 ，且 .
若数列 的各项和为 ，则 .
13．如图，△ 中， ， = ， ，
延长 到 ，使 ，当 点在线段
上移动时，若 ，当 取最大值时，
的值是 .
14．设函数 的定义域为 ，值域为 ，若所有点
构成一个正方形区域，则 的值为 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．“ ”是“不等式 成立”的 [答]（ ）
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分亦非必要条件.
16．函数 的图像与 的图像关于 轴对称，若 ，则 的值是
[答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
17．2010年上海世博会期间，小张、小赵、小李、小王四名志愿者将分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是 [答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
18.在平面在直角坐标系中，定义 为点 到点 的一个变换，我们把它称为点变换.已知 ， 是经过点变换得到的一列点.设 ，数列 的前 项和为 ，那么 的值为 [答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分14分）
已知三棱锥 底面 , ，
底面 是等腰直角三角形， ， 是
的中点， 与底面 所成角的大小为 ，
求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
已知以角 为钝角的 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ， ，且
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
21.（本题满分16分）本题共有2个小题，每小题满分各8分．
某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客.旅游人数 与人均消费 （元）的关系如下：
（1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？
（2）若公园每天运营成本为 万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入
20%的税收，其余自负盈亏.目前公园的工作人员维持在40人.要使工作人员平均每
人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应
控制在怎样的合理范围内？
（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分各4分，第2、3小题满分各6分．
已知等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设由 （ ）构成的新数列为 ，求证：当且仅当 时，数列 是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列 ，设 （ ），数列 的前 项和为 ，现有数列 ， （ ），
求证：存在整数 ，使 对一切 都成立，并求出 的最小值.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.

闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试
数学试卷参考答案和评分标准
一、填空题（每题4分）
1. ； 2. 2； 3. 2；
4. ； 5. ; 6. 理 且 ；文 ；
7. ；8. 理 ；文 ； 9. ；
10. 理 ；文2； 11. 444； 12. 理 ；文 ；
13. 理 ；文 ； 14 .
二、选择题（每题4分） 15. ； 16. ； 17. ； 18.
三、解答题（19题至23题）19.（本题满分14分）
(理科)取CD中点F，连AF， E为PD中点，∴ ，
∴ （或其补角）的大小即为异面直线 与 所成的角的大小， (2分)
底面 ，∴ 就是 与底面 所成角，即 ，且 ，由已知条件及平面几何知识，得： ,
，于是 (8分)
在 中，由余弦定理得： (12分)
∴ ，
即异面直线 与 所成的角的大小为 ． (14分)
另解： 以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 底面 ，∴ 就是 与底面 所成角，即 ，且 ，由已知条件及平面几何知识，得：
∴ (4分)
∴ ， (8分)
∴ ， (12分)
即异面直线 与 所成的角的大小为 ． (14分)
（文科）取 中点 ，连 ， 为 中点，∴ ，
∴ （或其补角）的大小即为异面直线 与 所成的角的大小. (2分)
底面 ，∴ 就是 与底面 所成角，即 ，且 ，由已知条件及平面几何知识，得：
，于是 ， (8分)
在 中，由余弦定理得 (12分)
∴ = ，即异面直线 与 所成的角的大小为 ．(14分)
20.（本题满分14分）（1） ∴ ，得 （2分）
由正弦定理，得 ，代入得： （3分）
，∴ ， （ 5分）
为钝角，所以角 . （7分）
（2）（理科）
（或：
） （10分）
由（1）知 ， ∴ （12分）
故 的取值范围是 （14分）
（文科） ， （10分）
由（1）知 ，∴ ，（12分）
故 的取值范围是 （14分）
21.（本题满分16分）（1）设当天的旅游收入为L，那么L=xt，得
（4分）
当 时, （元） （5分）
当 时，
， ∴当 元时， （元） （6分）
此时 （人） （7分）
故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，收入为70416元. （8分）
（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后不低于54000元，
因 显然不满足条件 （10分）
由 （12分）
得 . （14分）
因此 ，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间. （16分）
22.（本题满分16分）（1）∵等差数列 中，公差 ，
∴ （4分）
（2） ， ， （6分）
由 得 ，化简得 ，∴ （8分）
反之，令 ，即得 ，显然数列 为等差数列，
∴ 当且仅当 时，数列 为等差数列. （10分）
（3）（理科）
∴
（12分）

∴当 时， ，当 时， ，当 时， ，∴ ， （14分）
∴存在不小于13的整数，使 对一切 都成立， （16分）
(文科)
∴
（12分）
而 时
∴ 在 时为单调递减数列，此时 （14分）
∴存在不小于2的整数，使 对一切 都成立， （16分）
23.（本题满分18分）
（理科）（1）由 得 ，由已知可得
（4分）
（2） 在 上是单调递增的，又 ，
（或设 则
，
）
所以函数 在区间 上为增函数，因此 （6分）

即
所以 m、n是方程 的两个相异的解. （8分）
设 ，则 （10分）
所以 为所求. （12分）
另解：由 可转化为函数 图像与函数 的图像有两个交点问题，数形结合求得： .
（3） （14分）
当且仅当 时等号成立，
（16分）
， 有可能取的整数有且只有1，2，3.
当 时，解得 （舍去）；
当 时，解得 （舍去）；
当 时，解得 （舍去）.故集合 （18分）
（文科）（1）由已知得 ； （4分）
（2） 在 上为单调递增函数， （6分）
在区间 ，

即 . 是方程
即方程 的两个相异的解， （8分）
这等价于 ， （10分） 解得 为所求. （12分）
另解：可转化为函数 图像与函数 的图像有两个交点问题，数形结合求得： .
（3） （14分）
当且仅当 时等号成立，
（16分）