Question

在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两座标轴分别交于A、B、C、D四点，

如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两座标轴分别交于A、B、C、D四点，抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N 且MA、NC分别与圆相切于点A/C。
1 求抛物线的解析式、
2 抛物线的对称轴交X轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长、
3 过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断P是否在抛物线上、。

图片有点类似，差不多是这个图- -

Answer 1

解：（1）由题意易知：M为（1,1），N为（-1，-1），D为（0，-1）。根据这三点可以列出方程式求出：a=1,b=1,c=-1.
(2)连接BF,可知BF垂直DF.△EOD相似 △BFD
抛物线的对称轴是x=-1/2,故E点位（-1/2,0）,求得OE=1/2,DE=√5/2.
BD/ED=FD/OD,解得FD=4√5/5.
（3）过点B的切线是：y= 1,直线CD为：y= -x-1,因此两直线的交点P为（-2,1）。
将点P代入抛物线的解析式不成立，故P不在抛物线上。

Answer 2

：（1）∵点A是直线l：y=-x- 2 与坐标轴x轴的交点
∴y=0，即0=-x- 2 ，解得x=- 2所以点A（- 2 ，0），同理点C（0，- 2 ）
∴OA=OC
∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°
（2）
过B1做B1P垂直于l′角l′于点P，连接B1A，B1C，B1N
如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N
则MN=t，OB1=OK+KB= 2 ，B1N=1，B1N⊥AN
∴ON=1，MN=3，即t=3
l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转了90°，即l与l′相互垂直．
则B1P⊥AP，B1P⊥N1N，∴∠PAB1=∠NAB1
由（1）知AO= 2 ，∴AO=OB1
∴∠OAB1=∠OB1A
又∵∠B1NO=45°
∴∠B1AO=22.5°
∴∠PAB1=90°-45°-22.5°=22.5°
在Rt△PAB1与Rt△NAB1中，∠PAB1=∠B1NO，AB1为公共边，所以Rt△PAB1≌Rt△NAB1
PB1=NB1=1
故直当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l与⊙B相切
（3）
①由（1）知△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在AE上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圆周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME为等腰直角三角形
∴ME= 2 EO
又∵ME=AE-AM=AE-EC
∴AE-EC= 2 EO
②
由（1）知三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAM=∠OCE（外角等于所对的圆周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME为等腰直角三角形
∴ME= 2 EO
又∵ME=AE+AM=AE+EC
∴AE+EC= 2 EO
所以①不成立，正确的结论是AE+EC= 2 EO点评：本题考查直线与圆的位置关系，坐标系，圆心角、弧度、弦的关系，三角形等．