Question

f(x)=ax^3-bx^2+9x+2,f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0

一：求f(x)的解析式和单调区间
二：任意x属于[1/4,2]都有f(x)大于等于t^2-2t-1成立，求g(t)=t^2-2t-2的最值

Answer 1

一、
x=1,代入切线方程为3x+y-6=0 ，y＝3
∴切点为（1，3）
另外切线的斜率为k＝－3
f'(x)＝3ax²-2bx+9
∴f'(1)＝3a-2b+9＝-3 ……(1)
f(1)＝3 ……(2)
由以上二个式子可解得：a＝4；b＝12
f(x)＝4x^3-12x^2+9x+2
f'(x)＝12x²-24x+9＝3(2x-1)(2x-3)
令f'(x)＝0,即x＝0.5或x＝1.5
当x<0.5或x>1.5时，f'(x)>0，f(x)单调增；
当0.5<x<1.5时，f'(x)<0，f(x)单调减。

二、
任意x∈[1/4,2]都有：f(x)≥t^2-2t-1恒成立
首先要求出x∈[1/4,2]时f(x)的最小值，
根据单调性，f(x)的最小值必为f(1.5)或f(1/4)中的小者
经验证f(1.5)＝2<f(1/4)
∴t^2-2t-1≤2恒成立
∴-1≤t≤3
∴g(t)=t²-2t-2＝(t-1)²-3∈[-3，1]

Answer 2

一、解：f"(x)=3ax^2-2bx+9 (1，a-b+11)
则f(x)在点 (1，a-b+11)的切线方程为（3a-2b+9)(x-1)=y-(a-b+11)
又 f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
解得：2b-3a-9=3 2a-2b=-4 即 a=-8 b=-6
f(x)的解析式: f(x)=-8x^3+6x^2+9x+2,
f"(x)=-24x^2+12x+9 大于等于0 则【4分之（2减根号7），4分之（2加根号7）】递增，另外区间递减。
二、解：任意x属于[1/4,2]都有f(x)大于等于f(2)=-20大于等于t^2-2t-1
g(t)=t^2-2t-2的最大值=-21

Answer 3

1.对f(x)求导，f'(x)=3ax^2-2bx+9，由x=1处的切线方程为y=-3x+6可知，f'(1)=-3，f(1)=3，得到方程组，联立可解a=4，b=12。所以解析式为f(x)=4x^3-12x^2+9x+2。
所以导函数是f'(x)=12x^2-24x+9，令其大于0，可解x<1/2或者x>3/2，所以函数的单调递增区间为(-∞,1/2)和(3/2,+∞)，注意此处不能用∪！！！！！那么单调递减区间就是[1/2,3/2]。
2.第二问有问题吧？？你没把题抄错？

Answer 4

x=1,代入切线方程为3x+y-6=0 ，y＝3
∴切点为（1，3）
另外切线的斜率为k＝－3
f'(x)＝3ax²-2bx+9
∴f'(1)＝3a-2b+9＝-3 ……(1)
f(1)＝3 ……(2)
由以上二个式子可解得：a＝4；b＝12
f(x)＝4x^3-12x^2+9x+2
f'(x)＝12x²-24x+9＝3(2x-1)(2x-3)
令f'(x)＝0,即x＝0.5或x＝1.5
当x<0.5或x>1.5时，f'(x)>0，f(x)单调增；
当0.5<x<1.5时，f'(x)<0，f(x)单调减。

二、
任意x∈[1/4,2]都有：f(x)≥t^2-2t-1恒成立
首先要求出x∈[1/4,2]时f(x)的最小值，
根据单调性，f(x)的最小值必为f(1.5)或f(1/4)中的小者
经验证f(1.5)＝2<f(1/4)
∴t^2-2t-1≤2恒成立
∴-1≤t≤3
∴g(t)=t²-2t-2＝(t-1)²-3∈[-3，1]