Question

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),(x1<x2),与y轴的负半轴交于点C,若抛物

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),(x1<x2),与y轴的负半轴交于点C,若抛物线顶点的横坐标为-1，A,B两点间的距离为10，且△ABC面积为15.
（1）求出点A和B的坐标
（2）求此抛物线的解析式
（3）在x轴上方，（1）中的抛物线上是否存在点P, 使得以A,B,P为顶点的三角形，与△ABC相似？若存在，求出P点坐标; 若不存在，请说明理由。

Answer 1

①∵顶点的横坐标为-1，A,B两点间的距离为10
∴A(-6,0),B(4,0)
②S△ABC=15=10*|Yc|/2
|Yc|=3
∵与y轴的负半轴交于点C
∴C（0,-3）
把A、B、C三点代入抛物线y=ax2+bx+c
解得a=1/8,b=1/4,c=-3
∴y=x²/8+x/4-3
(3)（画图）（如果相似，那么检验时候可以找到△ABP∽△ACB）
在y轴正半轴上找C`(0,3)
连接AC`并延长AC`交抛物线于P，连接PB
则∠PAB=∠BAC
易得AC`：y=x/2+3
联立{y=x²/8+x/4-3
y=x/2+3
解得：x1=-6(A点） x2=8
y2=7
∴P（8,7)
∴AP=√245=7√5
∴AP/AB≠AB/AC
此猜想不成立
（下面试图构造△ABP``∽△BCA)
易得：BC：y=3x/4-3
过A点做AP``‖BC交抛物线于P``
∴∠PAB=∠ABC
易得AP``：y=3x/4+9/2
联立{y=x²/8+x/4-3
y=3x/4+9/2
x1=-6（A点） x2=10
y2=12
∴P``（10,12）
P``A/AB=AB/BC=2/1
∴△ABP``∽△BCA
根据对称可得P```（-12,12）
∴P``（10,12）P```（-12,12）
为所求
（应该全乎了，但是今天头晕不保证不丢解，就做到这，反正方法都差不多）