Question

初三的数学题

在四边形ABCD中∠A=∠C=90°，∠ABC=30°，AD=3，BC=15,求tan∠ABD的值.

Answer 1

设BD=x
则AB=√(BD²-AD²)=√(x²-9)
CD=√(BD²-BC²)=√(x²-225)
tan∠ABD=AD/AB=3/√(x²-9)
tan∠CBD=CD/BC=√(x²-225)/15
tan(∠ABC)=tan(∠ABD+∠CBD)
√3/3=(3/√(x²-9)+√(x²-225)/15)/(1-3/√(x²-9)*√(x²-225)/15)
解得x=6√7
所以tan∠ABD=3/√(x²-9)=(√3)/9

Answer 2

延长BC到E,设CE=x，DE=2x，CD=√3x
那么 2（3+2x）=15+x
x=3，AE=9,AB=9√3
tan∠ABD=AD/AB=√3/9

Answer 3

连结BD，在直角△ABD中BD=AD/sinABD=3/sinABD,
在直角△BCD中BD=BC/cosDBC=15/cosDBC,
所以3/sinABD=15/cosDBC.因为角ABD+角CBD=角ABC=30度，
所以3/sinABD=15/cos（30度-角ABD），即9sinABD/2=根号3cosABD/2，
所以tanABD=根号3/9.