Question

一道线性代数题

求证：线性方程组
x1-x2=a1
x2-x3=a2
x3-x4=a3
x4-x5=a4
-a1x5=a5
有解的充要条件是：a1+a2+a3+a4+a5=0
题没有错 也知道要用系数矩阵与增广矩阵秩相等的充要条件。

Answer 1

最后一个方程是写错了，应该是-x1+x5＝a5
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把增广矩阵进行初等行变换（前4行都加到第5行上去)，增广矩阵化为
1 -1 0 0 0 a1
0 1 -1 0 0 a2
0 0 1 -1 0 a3
0 0 0 1 -1 a4
0 0 0 0 0 a1+a2+a3+a4+a5
系数矩阵的秩是4，方程组若有解，则增广矩阵的秩也是4，所以方程组有解的充分必要条件是a1+a2+a3+a4+a5=0

Answer 2

最后一个方程是x5-x1=a5吧。

必要性是显然的，把五个方程加起来就行了。

充分性：当a1+...+a5=0时，
x1=0，x2=a2+a3+a4+a5，x3=a3+a4+a5，x4=a4+a5，x5=a5
就是一组解（直接代入验证，利用-(a2+a3+a4+a5)=a1）

Answer 3

利用非齐次线性方程组有解的充分必要条件：如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么非齐次线性方程组有解。这是一种通用方法，望您能好好掌握。加油。