Question

如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B做⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点

连接CH并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。
若FG=BF，且半径为三倍根号2，求BD和FG长度

Answer 1

连接AB，设BD=x，AD=a，半径为3√2
因为已知AD⊥BC于点D，BE是切线
所以AD平行BE
所以DG/BF=CG/CF=AG/EF
又因为G是AD中点，有AG=GD
所以推出FE=FB
因为BC是直径，易知AD^2=BD*DC
即a^2=x*(6√2-x) ...(1)
又易知三角形BCE与三角形ABD相似
推出BE/BC=BD/DA
即2BF/6√2=x/a，推出BF=3√2x/a
又已知FG=BF，推出FG=3√2x/a
又因为AD平行BE，
有BD/DC=FG/GC
即x/(6√2-x)=(3√2x/a)/GC
又因为CG=√(CD^2+DG^2)
所以推出x/(6√2-x)=(3√2x/a)/√((6√2-x)^2+(a/2)^2) ...(2)
将(1)式代入(2)，消去a，化简
得到x^2-8√2x+24=0，求出x=2√2 or x=6√2(明显不符题意，舍去)
所以BD=2√2
代入(1)式，求出a=4
所以FG=3√2x/a=3
所以求出BD=2√2，FG=3