Question

一道高中数学线面的证明题

平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA,PB,AC的中点，AC=16,PA=PC=10.
1 在△ABO内是否存在一点M使FM⊥平面BOE，若存在，请找出点M，并求出点M到OA,OB的距离；若不存在，请说明理由？
谢谢求大家写一下具体过程，谢谢 兴许里边有没用的条件，麻烦大家了
谢谢谢谢谢谢

Answer 1

我的思路是先把坐标轴建起了，再通过坐标向量建立函数关系计算M点位置
做起来有点长
证明：
∵△ABC为等腰直角三角形 且O为AC中点
∴OB⊥AC
∵PA=PC=10
∴△PAC为等腰三角形 且O为AC中点
∴OP⊥AC
∵面PAC⊥面ABC 且AC为交线
∴OP⊥面ABC
∴OP，OB，AC两两垂直
以O为原点建立空间直角坐标系
OC为X轴，OP为Y轴，OB为Z轴
∵PO⊥AC
∴△POC与△POA为直角三角形
又∵E,F分别为PA与PC中点
∴有E(-4,6,0) F(4,6,0)

设 向量MF ⊥面BOE M(X,0,Z)
即，向量MF(4-X,6,-Z) ⊥ 向量OE(-4,6,0)
向量MF(4-X,6,-Z) ⊥ 向量OB(0,0,8√2)
∴向量MF × 向量OE=(4-X)×(-4)+6×6+0=0
向量MF × 向量OB=0+0+(-Z)×8√2=0
即有X= -5 Z=0 M(-5,0,0)
∴点M到OA距离为0 到OB距离为|X|=5

Answer 2

建空间直角坐标系吧！以B为原点，BA 为Y轴，BC为X轴。A(0，8根号2,0），C（8根号2,0,0）
P（4根号2,4根号2,6），也可以写出E,F,O的坐标，做一下ABO的法向量。AM向量BM向量都与ABO的法向量垂直，即可确保M在ABO的平面里。再写出FM的向量，分别与BE向量和BO向量点积为0。可能计算会烦一点，但这就是这种题目的特点。没啥技术含量，就是计算复杂。