Question

定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数,且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/4^x+1

(1)求f(x)在【-1,1】上的解析式（2）证明f(x)在（-1,0）上时减函数 （3）当b取什么值时，不等式f(x)>b在R上有解？

Answer 1

1.奇函数f(x)=-f(-x)
设y=[-1,0]，-y则在[0,1]内
所以f(-y)=2^(-y)/4^(-y)+1
再利用奇函数f(y)=-f(-y)=-2^(-y)/4^(-y)-1=-1-2^y
所以f(x)=-1-2^x,x属于(-1,0),f(x)=2^(-x)+1,x属于(0,1)。
f(0)=0<奇函数特性>
f(1)=f(-1+2)=f(-1)<周期性>
f(1)=-f(-1)<奇函数特性>，由于f(x)是实数，所以f(1)=0=f(-1).
2.设-1<x1<x2<0，f(x1)=-1-2^(x1) f(x2)=-1-2^(x2)
f(x1)-f(x2)=2^(x2)-2^(x1),由于2^x为递增函数，所以当x2<x1时，2^(x2)-2^(x1)<0
所以f(x1)-f(x2)<0，所以得证
3.逆向思维，求f(x)>b无解时的情况。当b>max(f(x))时，f(x)>b肯定无解。
f(x)的极值点在哪？由第二问，我们知道f(x)在(-1,0)是减函数，所以f(x)在（-1，0）中的极大值为-3/2.由于奇对称性，f(x)在（0，1）也是递减函数，所以在（0，1）的极大值为2。
所以当b>=2的时候不等式f(x)>b无解。反之，当b<2的时候，f(x)>b有解
其实第三问你画个图就很简单看了。灰常简单哦

补充下：
学好初中数学关键点在于使用定义：）
另外，做题的时候边界点要仔细考虑下。
其实数学不难的

Answer 2

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=
2-x4-x+1=
2x4x+1=-f(x)，
∴f(x)=-
2x4x+1，
∴f(x)=
-
2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1).

（2）设0＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/ca354fd5-9763-49df-8776-e47eadc49638