Question

高中数学！！！急急急急！！！！！！

已知焦点在x轴的椭圆的短轴长为2,它的一条准线与抛物线y^2=-8x的准线重合，过椭圆右焦点F的直线l交于A和B两点，交y轴于点M，且向量MA=λ1*向量AF,向量MB=λ2*向量BF（λ1不等于λ2）（1）求椭圆标准方程（2）当λ1=8时，求直线l方程。（3）证明λ1+λ2为定值

要过程~~~~~~麻烦啦~~~~~~~

Answer 1

解：（1） 由题意，2b=2,故b=1.又a²/c =2, a²=b²+c²，故c=1,a=√2
其方程为：x²/2 +y²=1
（2）依题意，直线l的斜率存在，过椭圆焦点（1,0），设其方程为 y=k(x-1),
令x=0,得y=-k,∴M（0，-k），设A（a,b）由MA=8AF得
（a,b+k）=8(1-a,-b) ,
∴a=8/9,代入椭圆方程得b=7/9或-7/9
∴k=-9b=-7或7
∴直线L的方程为y=7x-7或y=-7x+7
(3) 直线l的斜率存在，设其方程为 y=k(x-1),
联立y=k(x-1)和x²/2 +y²=1，消去y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
△ >0,设A（x1,y1）B(x2,y2),则
x1+ x2=4k²/（1+2k²）, x1 x2=(2k²-2)/ （1+2k²）
由MA=λ1AF，MB=λ2BF得，λ1= x1/(1- x1) , λ2= x2/(1- x2)
∴λ1+λ2= x1/(1- x1)+ x2/(1- x2)=(x1+x2-2x1x2)/[ (1- x1) (1- x2)]
把x1+ x2=4k²/（1+2k²）, x1 x2=(2k²-2)/ （1+2k²）代入上式得
λ1+λ2=-4（定值）