Question

如图，等边△ABC的边长为2，动点P,Q在线段BC 上移动，（都不与B,C重合），点P在Q的左边，PQ=1，过点P作PM

如图，等边△ABC的边长为2，动点P,Q在线段BC 上移动，（都不与B,C重合），点P在Q的左边，PQ=1，过点P作PM⊥CB，交AC于M，过点Q作QN⊥CB，交AB于N，连接MN，记CP的长为t
（1）当t为何值时，四边形MPQN是矩形？
（2）设四边形MPQN的面积为S，请说明当P，Q移动时，S是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请求出S关于t的函数关系式；
（3）当t取何值时，以点C，P，M为顶点的三角形与以A，M，N为顶点的三角形相似。判断此时△MNP的形状，并请说出理由
只求（3）的解题过程

Answer 1

过M作NQ的垂线交与F点
要使三角形MCP相似于三角形MAN，所以角AMN=角CMP=30度
因为MF平行BC，所以角AMF=60度，角NMF=30度，所以三角形MFN相似于三角形MNA。
因为MF=PQ=1，所以MN=2/3根号三，所以AN=1/3根号三，MN=2/3，所以AM=4/3，所以CM=2-4/3=2/3.所以CP=t=1/2CM=1/3
同理，当NM垂直AC时可得相似，此时t=2/3

Answer 2

(1).当四边MPQN形是矩形时MP=QN,∵∠C＝∠B=60°，∠CPM＝∠BQN＝90°，∴△CPM≌△BQN,∴CP=BQ,又∵CB=2，PQ=1∴t=CP=BQ=½.
(2)∵∠C＝∠B=60°,∴MP=√3CP=√3t, NQ=√3BQ=√3(2-t-1)=√3（1-t），∴四边形MPQN的面积是(MP+NQ)*PQ/2=(√3t+√3(1-t))*1/2=½，∴四边形MPQN的面积是定值，定值是½
（3）当△CPM∽△ANM时，∠AMN=∠CMP=30°,∠ANM=∠CPM=90°,∴MC=2CP=2t, AM=2AN=2(AB-BN)=2(2-2BQ)=2(2-2(2-CP-PQ))=2(2-2(2-t-1))=4t，AM＋MC＝AC，4t+2t=2,∴t=1/3, ∴当t=1/3时△CMP∽△AMN.

Answer 3

过M作NQ的垂线交与F点
要使三角形MCP相似于三角形MAN，所以角AMN=角CMP=30度
因为MF平行BC，所以角AMF=60度，角NMF=30度，所以三角形MFN相似于三角形MNA。
因为MF=PQ=1，所以MN=2/3根号三，所以AN=1/3根号三，MN=2/3，所以AM=4/3，所以CM=2-4/3=2/3.所以CP=t=1/2CM=1/3
同理，当NM垂直AC时可得相似，此时t=2/3

Answer 4

两个三角形相似……MN垂直于AB或MN垂直于AC
（1）MN垂直于AB
过M做MD垂直于NQ于D
MD=1,<CMP=<AMN=30，<DMP=90
所以 <NMD=30,MN=2/根号3
AM=4/3 ，CM=2/3
CP=1/3
（2）
CP=2/3

Answer 5

y=2/1x+ AC CB的绝对值+2（B）