Question

高中数学！！！急！！！急！！急！！！！！！！！！

已知有公共点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1F2。且它们在第一象限的焦点为P，三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=8，双曲线离心率的取值范围为（1,3），则该椭圆的离心率的取值范围是

Answer 1

已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1F2。且它们在第一象限的交点为P，三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=8，双曲线离心率的取值范围为（1,3），则该椭圆的离心率的取值范围是
解:设椭圆的长半轴为a,双曲线的长半轴为m,它们的半焦矩都是c,椭圆的离心率为e,
于是依题意有:
把P看作在椭圆上,则有: PF₁+PF₂=2a
把P看作在双曲线上则有: PF₁- PF₂=2m
两式相加得2PF₁=2(a+m), 即PF₁=a+m
两式相减得2PF₂=2(a-m),故PF₂=a-m.
已知PF₁=8, PF₂=F₁F₂=2c, 即a-m=2c,
∴a/c-m/c=2, 即有1/(c/a)-1/(c/m)=1/e-1/(c/m)=2, ∴1/e=2+1/(c/m)
已知1＜c/m＜3, 故1/3＜1/(c/m)＜1,
∴ 5/3＜1/e＜3, 故1/3＜e＜3/5.
即椭圆的离心率的取只范围是(1/3, 3/5).