如图,平面上有三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF,两两共有一个顶点.求证:CD与EF互相平分.
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问题关键是证明三个三角形全等,再根据平行四边形对角线互相平分得到结论
证明:如图
连接,DE、CF
∠CBA=60°-∠ABF
∠FBD=60°-∠ABF
∴∠CBA=∠FBD
在△CBA和△FBD中
CB=FB(等边三角形各边相等)
∠CBA=∠FBD
BA=BD(等边三角形各边相等)
∴△CBA≌△FBD(SAS)
∴AC=DF
又∵EC=AC
∴DF=EC
同样道理可得:△DEA≌△BCA
得到BC=DE
又∵BC=FC
∴DE=FC
根据对边分别相等的四边形是平行四边形可得:
四边形DECF是平行四边形
所以CD与EF互相平分
证明:如图
连接,DE、CF
∠CBA=60°-∠ABF
∠FBD=60°-∠ABF
∴∠CBA=∠FBD
在△CBA和△FBD中
CB=FB(等边三角形各边相等)
∠CBA=∠FBD
BA=BD(等边三角形各边相等)
∴△CBA≌△FBD(SAS)
∴AC=DF
又∵EC=AC
∴DF=EC
同样道理可得:△DEA≌△BCA
得到BC=DE
又∵BC=FC
∴DE=FC
根据对边分别相等的四边形是平行四边形可得:
四边形DECF是平行四边形
所以CD与EF互相平分
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