Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心。求证:A1O⊥平面GBD

用向量的方法证明
还有一题 - -
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是举行，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点。（1） 求证：CD⊥PD （2）求证：EF‖平面PAD 也用向量的方法证明 谢谢哈~

Answer 1

1. 以A为原点，分别以AB,AD，AA1为x,y,z轴建立坐标系，设AA1=2
A1(0,0,2),O(1,1,0) 向量A1O=(1,1,-2), G(2,2,1),B(2,0,0),D(0,2,0),平面GBD的法向量n=(x,y,z)
向量BD=（-2,2,0）向量GD=（-2,0,-1）,向量n*向量BD=-2x+2y=0 x=y
向量n*向量GD=-2x-z=0 z=-2x 令x=1,y=1，z=-2 法向量 n=(1,1,-2)
向量A1O//法向量n A1O⊥平面GBD

2.以A为原点，分别以AB,AD，AP为x,y,z轴建立坐标系，设AP=a, AB=b,AD=c
A(0,0,0),P(0,0,a),B(b,0,0),C(b,c,0),D(0,c,0)
(1) 向量CD=(-b,0,0),向量PD=(0,-c,a) 向量CD*向量PD=-b*0-c*0+a*0=0 CD⊥PD
(2)E、F分别是AB、PC的中点,E(b/2,0,0),F(b/2,c/2,a/2)
向量EF=(0,c/2,a/2), 因为CD⊥PD ,CD⊥AD CD⊥平面PAD ,向量CD是平面PAD的一个法向量， 向量CD=(-b,0,0), 向量EF*向量CD=-b*0+c/2*0+a/2*0=0
EF‖平面PAD