Question

已知a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

已知a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值
这题是初2学的。
答案是8和-1。
说明要仔细一点。

Answer 1

如果觉得还行，就采用吧！！！

解：若a+b+c=0，则有
(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=[-c*(-a)*(-b)]/abc
=-abc/abc
=-1；

若a+b+c≠0，则有
将已知的分子分母分别全部相加得：
(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=(a+b+c)/(a+b+c)=1
a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
所以
(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8abc/abc
=8

综上，(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值是-1和8。

方法二：
由已知得：
(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
同时减去1，得
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
设上式等于k，得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加，得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0，
当k=2时，(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，则
(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1。

Answer 2

如果觉得还行，就采用吧！！！

解：若a+b+c=0，则有
(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=[-c*(-a)*(-b)]/abc
=-abc/abc
=-1；

若a+b+c≠0，则有
将已知的分子分母分别全部相加得：
(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=(a+b+c)/(a+b+c)=1
a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
所以
(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8abc/abc
=8

综上，(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值是-1和8。

方法二：
由已知得：
(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
同时减去1，得
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
设上式等于k，得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加，得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0，
当k=2时，(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，则
(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1。

Answer 3

(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
ck+bk+ak=(a+b)+(a+c)+(b+c)
k=2
(a+b)(b+c)(c+a)/abc=2*2*2=8