Question

设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 aη1+bη2 . .

求通解和题目给的A的秩为3有关系吗，具体是什么关系，详细说一下吧

Answer 1

因为非齐次线性方程的通解的形式，是与之相应的齐次线性方程的通解，以及该非齐次线性方程的一个特解的组合，如（非齐次线性方程特解+k1*齐次线性方程的解1+k2*齐次线性方程的解2）。其中齐次线性方程的解之间线性无关。
而齐次线性方程的线性无关解（也就是基础解系）的个数与A的秩有关，它等于未知数的个数减去A的秩。
也就是说，在题中所给的方程组，其相应的齐次线性方程有4-3=1个基础解系，那么非齐次线性方程的通解形式就是（非齐次线性方程特解+k1*齐次线性方程的解)。
因为（η1 - η2）是AX=0的齐次线性方程的一个通解（书上有），所以该非齐次线性方程的通解的形式为[η1 +k1*（η1 - η2）]=aη1+bη2