Question

【求助】请教一个数学问题

如果我知道了一个线性空间的一组基底向量，如何找出这个空间中，含0最多的向量（当然不能是全零）？

这个空间的维数很高，所以我需要的是一个具体的可以用计算机来求解的算法或者工具或者MATLAB函数之类的。

谢谢了。
1楼3楼的请不要乱回答。根本与题目无关。
谢谢2楼4楼的认真回答。
回2楼：如果n比较大的时候，你的算法的计算复杂度应该是超级大的吧。有没有能简单一点的算法啊？
回4楼：这个线性空间不一定是R^n空间的。比如他可能是仅仅由一个向量v=[2 3]构成的子空间。在这种情况下，[0 1]和[1 0]是不在这个空间中的。

Answer 1

设a1,a2,…,an是n维线性空间V的一组基底向量，故线性空间的任意一个向量均可由该组向量线性表出，欲求这个空间中含0最多的向量（当然不能是全零），坐标向量当然满足条件，它仅有一个非零的分量，设
Ei=[0,0,…0,1,0,…,0]
是第i个分量为1其余为0的向量，由于a1,a2,…,an是基底，故一定存在常数k1,k2,…,kn使得
k1×a1+ k2×a2+…+kn×an= Ei
设A=[a1 a2 … an]是由a1,a2,…,an为列的矩阵，X=[k1,k2,…,kn]^T,则由上式得
AX= Ei
这是一个n阶线性方程组,利用高斯消去法或三角分解可求出k1,k2,…,kn.

首先回答你后面这个问题：[0 1]和[1 0]不在这个空间中的，因为你给出的是1个2维向量，不能构成基，仅形式为[2k,3k]的向量（k为任意常数）在该空间内（共线的），[0 1]和[1 0]均不能表示为v=[2 3]的倍数。
回答你开始的问题：如果你给的不是R^n空间，这更好办，设a1,a2,…,an是任间抽象元素，因为它是一组基底向量，故维线性空间所有元均能用这组元线性表出，当然a1,a2,…,an也在该空间内，此时这组元对应的恰是R^n空间的坐标向量，即
a1=1×a1+ 0×a2+…+0×an
a2=0×a1+ 1×a2+…+0×an
….
an=0×a1+ 0×a2+…+1×an
此时这组向量的任何一个均满足你的要求。

Answer 2

假定你已经有如下的算法：
1. IsZero(A)，判断子空间A是否为0空间。
2. Intersect(A, B)，求两个线性子空间A, B的交。
3. Span(v1,.., vk)，能求出向量v1, v2,.., vk张成的新空间。
4. Select(A)，能从空间A中任意取出一个向量。
令S = { e1, e2, ..., en } 是所有的坐标向量，比如e1=(1,0,...,0)。
令 A是你已知的那个子空间。
那么你的算法就是
for k = 1 to n do
{
for( S的所有k元子集{ei1, ei2, ..., eik} )
{
B = Span( ei1, ei2, ..., eik)
B = Intersect( A, B)
if( ! IsZero(B) )
return Select(B);
}
}
上面的算法从坐标轴开始（因为坐标轴上的向量有n-1个0元，只有一个非0），求
它与你的子空间的交。如果交非0，那么这个坐标轴上的任意向量就是你要求的结果。
然后考虑两个坐标轴张成的坐标子平面（这时有两个非0元），继续这个过程。

Answer 3

四楼的说法没错吧
不论是什么线性空间，只要是有限维，其内的向量的组合都在这个空间内部（貌似你只说维度很高，但也没说是否有限。。。）
在有限维的前提下，
1，如果你已知这个空间的一组基，那么首先空间的维度就已知；
2，你所需要的含“0”最多的向量，这个“0”你是如何定义的？是欧式空间里面基向量的矩阵系数吗？如果是的话，那么你把已知的那组基通过转换矩阵换为熟知的欧式空间中的类似于（1，0，0。。。）的基是完全可以的
3，后面就跟4楼一样列

Answer 4

这个在数学模形上，就是线性代数的最基本的知识。

记 A行向量生成的线性空间为 W
记 B行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V1
那么S1 = W∩V1 还是线性空间。这个空间的里的元就满足与A中列向量相关，与B不相关。

记 C行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V2
S2 = S1∩V2 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C不相关。

记 D行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V3
S3 = S1∩V3 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C,D相关。

如果S3算出来是{0}的话，就无解。
建议用matlab来搞定这事，如果计算量比较大的话

Answer 5

记 A行向量生成的线性空间为 W
记 B行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V1
那么S1 = W∩V1 还是线性空间。这个空间的里的元就满足与A中列向量相关，与B不相关。

记 C行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V2
S2 = S1∩V2 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C不相关。

记 D行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V3
S3 = S1∩V3 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C,D相关。

如果S3算出来是{0}的话，就无解。
建议用matlab来搞定这事，如果计算量比较大的话