Question

数列求和极限问题

已知f[1] = 1/3; f[2] = 2/27
f[n] = 2/3*(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[1])
求(f[1]+f[2]+...+f[n])当n趋于无穷大的极限。
请问能否求出f[n]的通项公式或者s[n]的呢？
f[n] = 2*(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[1])/3

Answer 1

你只要能看到卷积形式应该对应于多项式乘法就能做出来。
考察母函数g(x)=f[1]x+f[2]x^2+...f[n]x^n+...，条件相当于2/3*g^2=g-x/3，解出g(x)=3/4*(1-sqrt(1-8/9*x))，幂级数的收敛半径为9/8，所以1在收敛圆内，直接得到s[n]的极限就是g(1)=1/2。s[n]的通项可能没什么很简洁的形式。

Answer 2

题没写清楚
你那是三分之二乘(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[1]) 还是2除以3*(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[1])

Answer 3

电灯剑客的卷积用的好
但是g(1)=1/2或1。选哪个好呢？

Answer 4

这题有难度...