Question

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-x,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且f(x)=0的一个根为x=2，求证f(1)>=2

Answer 1

f'(x)=3x^2+2bx+c
由f'(0)=0可知c=0,f'(x)=3x^2+2bx，由f(x)在[0,2]上是减函数可得b<=-3

且f(x)=0的一个根是2，于是8+4b+d=0，即d=-4b-8

故f(1)=1+b-4b-8=-3b-7，-3b>=9，-3b-7>=2，原式得证。