Question

高难度数学问题，高手进！！！！！

F是一个多项式，我们所知道的是其中的所有系数都是正整数，F(1)=6，F（7）=3438
求F（3）？
略写过程，谢谢

Answer 1

如F为关于x的多项式，用待定系数法, 设x^k的系数为[a(k)],（[a(k)]代表的是k为a的下标，即数列形式的一组数的第k项。）
设F(x)= [a(n)]x^n + [a(n-1)]x^(n-1) + ... + [a(1)]x + [a(0)]

x=1带入F(x)的表达式有：
F(1)=[a(n)]+ [a(n-1)] + ... + [a(1)] + [a(0)] = ∑[a(n)] = 6 …………记为(1)
x=7带入F(x)的表达式有：
F(7)= [a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ... +[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 + [a(0)]
=7{[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + [a(1)]} + [a(0)]
=3438……………………记为(2)
而注意到3438=7*491 + 1
是不能被7除尽的，余数为1. 所以可以知道[a(0)]除以7的余数为1
又由(1)式中∑[a(n)] = 6，而[a(n)]都是正整数， 可以知道只能有：
【[a(0)]=1】

下面进一步计算：
[a(1)]+[a(2)]+...+[a(n)]=5
F(7)= [a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ... +[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 + 1=3438
所以[a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ... +[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 =3437
左右同时除以7：有 [a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + [a(1)] = 491 = 7*70 + 1
用与上面确定[a(0)]的相同的方法可以确定
【[a(1)]=1】

继续：
[a(2)]+...+[a(n)]=4
且[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + 1= 491
所以[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7=490
左右同时除以7：有[a(n)]*7(n-2) + [a(n-1)]*7^(n-3) + ...+[a(3)]*7 + [a(2)] = 70 = 7*10
那么判断出除去[a(2)]的其余项都是被7整除的，于是【[a(2)]=0】

继续：
[a(3)]+...+[a(n)]=4
[a(n)]*7(n-2) + [a(n-1)]*7^(n-3) + ...+[a(3)]*7 =70
两边同除7，[a(n)]*7(n-3) + [a(n-1)]*7^(n-4) + ...+[a(4)]*7 + [a(3)] = 10 =7+3
于是很显然【[a(3)]=3】

自然剩下一个大于3的某m 有[a(m)]=1，而其他项系数均为0.
至此，F可以表达为：【F(x)=[a(m)]*x^m + 3x^3 + x + 1】
再一次把7带入：F(7)=7^m + 3*7^3 + 7+ 1 = [a(m)]*7^m + 1037 = 3438
于是7^m = 2041，m=4

确定：
【F(x) = x^4 + 3x^3 + x +1】
x=3时
F(3)=3^4 + 3*3^4 +3 +1=166

Answer 2

F(7)=3438 7^n<=3438 n=4
F(7)=1*7^4+3*7^3+1*7^1+1*7^0=3438
F(1)=1*1^4+3*1^3+1*1^1+1*1^0=6
F(x)=x^4+3x^3+x+1
F(3)=3^4+3*3^3+3+1=166

Answer 3

简单
所有系数都是正整数，F(1)=6，可知每项系数不超过6，包括常数项
3438被7除余1，则常数项是1，8，15....,又小于6，只能是1
7四次方是2401，5次就超了3438；而三次方才343，即使系数是6都远远不够3438；
所以最高次是4，系数1；同样，推出以后的。
f(a)=a^4+3*a^3+a+1,f(3)=166
符号：^表示次方，*表示乘积
这种题秒杀

Answer 4

由3438=491*7+1=[7*7*（7+3）+1]*7+1
可假设F(x）=x^4+3x^3+x+1
当x=1时，可得F(1)=6,与题相符，则F(3)=166