Question

计算1³+2³+3³+……+100³的值

Answer 1

正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=(1+2+……+n)^2

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

稍加整理

得到

0.25[N(N+1)]²=[0.5n(n+1)]²=(1+2+3+...+n)²

那么本题中

1³+2³+3³+......100³=(1+2+...+100)²=5050²=25502500

Answer 2

1³+2³+3³+……+n³=1/4×(n+1)^2×n^2
n=100
和=（自己算吧）