Question

已知x=0是函数f(x)=(x^2+ax+b)e^x(x属于R)的一个极值点

且函数f(x)的图像在x=2处的切线斜率为2e^2
⑴求函数f(x)的解析式并求单调区间
⑵设g(x)=f'(x)/e^x,其中x属于(-2,m)，若方程g(x)=2/3(m-1)^2在区间(-2,m)上有唯一实数根，求m的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=(x^2+ax+b)e^x
f'(2) =(4+2a+4+a+b)e^x = 2e^2
3a+b = -6
f''(0)= 2a+b+2 = 0
2a+b = -2
a = -4, b=6
f(x) = (x^2 -4a+6)e^x
(2) g(x)= x^2 -2x +2 = 2/3(m-1)^2
2x-2 = 0, x=1
m属于[1，+oo)