Question

已知数列｛an｝=1.an+1=½an*(4－an)，n∈N

用数学归纳法证明an＜an+1＜2.n∈N

Answer 1

1,当n=1时，a1=1，a2=1.5满足条件。
2，假设当n=k（k大于等于1）时不等式成立，现在证明当n=k+1时不等式也成立。
a(k+2)=1/2 a(k+1)(4 - a(k+1))<1/21/4*4*4=2,（这部用到基本不等式)
a(k+2)-a(k+1）=1/2[a(k+1)*(4-a(k+1)] - 1/2[ak*(4-ak]
1/2[4-(ak +a(k+1))][a(k+1)-ak]
由于ak＜a(k+1)＜2，故推定ak+a(k+1)＜4，又a(k+1)大于0，
所以上面这个不等式的符号为正的。
所以n=k+1时命题也成立。
综上所述，an＜an+1＜2.n∈N

Answer 2

说明用数学归纳做，自己慢慢套步骤吧