Question

球数学几何题

已知双曲线方程为x²／9-y²=1 过左焦点作倾斜角为30度的直线交双曲线与AB两点 1 求AB的长 2 左焦点F 到AB中点M的长

Answer 1

a^2=9,b^2=1,c^2=a^2+b^2=10
左焦点为(-√10,0)
直线AB的方程为 y=(√3/3)(x+√10) 或表示成 x=√3y-√10
y=(√3/3)(x+√10) 代入双曲线
x^2/9-((√3/3)(x+√10))^2=1
整理得 2x^2+6√10x+39=0
x1+x2=-3√10
x1x2=39/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=12

x=√3y-√10代入双曲线
(√3y-√10 )^2/9-y^2=1
整理得 6y^2+2√30y-1=0
y1+y2=-√30/3
y1y2=-1/6
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=10/3+2/3=4

|AB|=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
=√(12+4)
=4
所以M的坐标(x,y)
x=(x1+x2)/2=-3√10/2
y=(y1+y2)/2=-√30/6
|FM|=√((-√10+3√10/2)^2+(0+√30/6)^2)=√30/3

满分

Answer 2

AB长为4

a^2=9,b^2=1,c^2=a^2+b^2=10
左焦点为(-√10,0)
直线AB的方程为 y=(√3/3)(x+√10) 或表示成 x=√3y-√10
y=(√3/3)(x+√10) 代入双曲线
x^2/9-((√3/3)(x+√10))^2=1
整理得 2x^2+6√10x+39=0
x1+x2=-3√10
x1x2=39/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=12

x=√3y-√10代入双曲线
(√3y-√10 )^2/9-y^2=1
整理得 6y^2+2√30y-1=0
y1+y2=-√30/3
y1y2=-1/6
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=10/3+2/3=4

|AB|=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
=√(12+4)
=4

M的坐标(x,y)
x=(x1+x2)/2=-3√10/2
y=(y1+y2)/2=-√30/6

|FM|=√((-√10+3√10/2)^2+(0+√30/6)^2)=√30/3