Question

对任意x属于[-1,1]不等式2^2x-1<a^x+1 (a大于0)恒成立,求实数a的取值范围

在线等
2x-1和x+1都在指数上

Answer 1

因为指数函数都是>0的
且a>0
原式两边取对数
即(2x-1)ln2<(x+1)lna
x∈[-1,1]
x+1∈[0,2]
2x-1∈[-3,1]
1、
当x=-1时
-3ln2<0
a取任何值时都成立
2、
当x∈(-1,1]时
(2x-1)/(x+1)=[2(x+1)-3]/(x+1)
=2-3/(x+1)<lna/ln2
即3/(x+1)>ln(4a)/ln2
此时的x+1>0
因为x∈(0,2]
❶当0<a<1/4时
ln(4a)<0
[3ln2/ln(4a)]-1<x
则只要
3ln2/ln(4a)≤1
解得
a≤8
则0<a<1/4
❷
当a>1/4时
ln(4a)>0
[3ln2/ln(4a)]-1>x
只要
3ln2/ln(4a)>3
ln2>ln(4a)
2>4a
a<1/2
即1/4<a<1/2
结果：
a∈(0,1/4)∪(1/4,1/2)

Answer 2

如图