Question

已知实数x，y满足方程(x²+2x+3)(3y²+2y+1)=4/3，求x+y的值

Answer 1

x^2+2x+3=(x+1)^2+2>=2
3y^2+2y+1=3(y+1/3)^2+2/3>=2/3
则(x²+2x+3)(3y²+2y+1)>=4/3，当且仅当x=-1,y=-1/3时取等
而由题目条件为等号成立，所以x=-1,y=-1/3
x+y=-4/3

Answer 2

将方程：(x^2+2x+3)(3y^2+2y+1)=4/3，
变形得：[(x+1)^2+2]*[(3y+1)^2+2]=4。
因为 (x+1)^2>=0， (3y+1)^2>=0，
(x+1)^2+2>=2， (3y+1)^2+2+>=2，
所以 [(x+1)^2+2]*[(3y+1)^2+2]>=4。
所以当且仅当 (x+1)^2+2=(3y+1)^2+2=2时，
方程成立。
即 x+1=3y+1=0，
x=-1， y=-1/3，
所以 x+y=-4/3。

Answer 3

(x²+2x+3)(3y²+2y+1)=4/3
所以(x²+2x+3)(9y²+6y+3)=4
((x+1)²+2)((3y+1)²+2)=4
因为(x+1)^2≥0，(3y+1)^2≥0，
(x+1)^2+2≥2，(3y+1)^2+2≥2，
所以x=-1,y=-1/3
x+y=-2/3