Question

一道高中数学题...求助求助~在线等~谢谢

已知P到定点F(1,0)与定直线l:x=2的距离之比为常数根号2/2
椭圆方程2y^2+x^2=2

若动点p的轨迹与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为AB，是否存在着直线l与点p的轨迹交于不同的两点CD,使得向量OC+OD与AB共线。如果存在l是怎样的直线。
过程详细啊~~~我会加分的~~感激不尽

三楼的同学...你觉得我可以给试卷上写，“存在” 两个字就完了么，要是这样谁不会写啊。

Answer 1

【1】动点P的轨迹方程为x²+2y²=2.这个简单，你会的。【2】可设直线L∶y=kx+t,与椭圆方程联立得∶(1+2k²)x²+4ktx+2(t²-1)=0.⊿=8(2k²+1-t²)＞0.不妨设点C(c,kc+t),D(d,kd+t).由韦达定理可得c+d=-4kt/(1+2k²).∴向量OC+OD=(c+d,kc+kd+2t)=[(2t)/(1+2k²)](-2k,1).又向量AB=(-√2,1).①当t=0时，向量OC+OD=零向量，∵零向量与任意向量共线，∴t=0满足题设，此时直线L∶y=kx,(k∈R).②当t≠0时，对比可知-2k=-√2,∴k=(√2)/2.再由判别式⊿=8(2k²+1-t²)=8(2-t²)＞0.t²＜2.此时直线L∶y=(√2/2)x+t.(-√2＜t＜√2).

Answer 2

这也是常规题。不考虑特殊做法的话，点斜式设直线L方程，求出C,D点坐标，多求一个CD中点F坐标。OC+OD与AB共线，其实就是OF与AB共线，AB是完全可求的，通过F确定L的两个未知参数就可以了。

Answer 3

P到定点F(1,0)与定直线l:x=2的距离之比为常数根号2/2 说明离心率e=根号2/2 <1 因为椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比 又
右焦点在x轴上，方程为x²/2+y²=1
AB直线方程可写出，直线I与AB平行就可设直线I的方程，然后与椭圆方程联立得一个二元一次方程，再另△>0（因为有两个交点）求出未知数的范围就行了，但必须除掉AB线，
方法交给你了你就自己算吧

Answer 4

你已求出动点p的轨迹是椭圆方程：2y^2+x^2=2。

A、B两点的坐标分别为：（1，0），（0，√2/2），
直线AB的方程为：y=-√2/2*x+√2/2
直线L与直线AB平行，
直线L的方程可设为：y=-√2/2*x+m，
代入椭圆方程：2y^2+x^2=2，得：
3/2x^2-√2mx+m^2-2=0。
因为直线L与椭圆有两个不同的交点，所以
△=2m^2-6(m^2-2)=-4m^2+12>0，
解 得：-√3<m<√3。
所以 这样的直线L是存在的。
当m=0时， 向量OC+OD，与向量CD，与向量AB共线。
此时直线L过原点。

Answer 5

存在，l是斜率为 根号2 /2的直线
分析:由题易知A（根号2，0）B（0，1）
设C(m,n) D(p,q) 代入椭圆方程，得到的两式相减，得：
(m-p)(m+p)=-2(n-q)(n+q)
若OC+OD与AB共线，则有：（n+q)/(m+p)= - 根号2/2
得：（n-q)/(m-p)=根号2/2
及直线l是斜率为根号2/2的直线
验证：
设直线l为 根号2*y=x+b
与椭圆方程联立，得x1+x2=-b
所以 OC+OD=（x1+x2,(x1+x2+2b)/根号2)=(-b,b/根号2）
当b=0时单独讨论一下，确定与AB共线
搞定