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高数 证明题 求详解~必须有详细过程~多谢~
设f(x)在[0,a]上连续,f(0)=f(a)=0,当0<x<a时,f(x)>0,l为(0,a)上任意一点,证明至少存在一点k属于区间(0,a)使得f(k)=f(k+l...
设f(x)在[0,a]上连续,f(0)=f(a)=0,当0<x<a时,f(x)>0, l 为(0,a)上任意一点,证明至少存在一点k属于区间(0,a)使得f(k)=f(k+l)
如果证明过程复杂的话~我可以酌情加分的~多谢了~ 展开
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1个回答
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证明:
因为f(x)在[0,a]连续,在(0,a)上取一点b,由题意知f(b)>0
因为f(b)>f(0),由介值定理知,任取0<η<f(b),有f(c)=η; c∈(0,b)
因为f(b)>f(a),由介值定理知,对刚才的0<η<f(b),有f(d)=η; d∈(b,a)
容易知道0<c<b<d<a
不妨取k=c I=d-c,就得到一组k,I 使得f(k)=f(k+I)
证毕。
因为f(x)在[0,a]连续,在(0,a)上取一点b,由题意知f(b)>0
因为f(b)>f(0),由介值定理知,任取0<η<f(b),有f(c)=η; c∈(0,b)
因为f(b)>f(a),由介值定理知,对刚才的0<η<f(b),有f(d)=η; d∈(b,a)
容易知道0<c<b<d<a
不妨取k=c I=d-c,就得到一组k,I 使得f(k)=f(k+I)
证毕。
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