Question

证明如果有 x+y+z=a, 1/x+1/y+1/z=a,那么x,y,z 中至少有一个a

证明如果有 x+y+z=a, 1/x+1/y+1/z=1/a,那么x,y,z 中至少有一个a
不好意思,题目打错了

Answer 1

x,y,z均不等于0
由题意得 1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)
即 (x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)=1
(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)=-2
上式3个括号中，每个括号中的式子要么大于等于2，要么小于等于-2；而且3个括号中的式子是轮换的，即x换成y，y换成z，z换成x 还是成立的，所以 上式必一个括号内为2，两个括号内为-2，故 x，y，z 绝对值相等，符号是2正1负，所以至少有一个是a
a是正的，那么就2个等于a
a是负的，那么就1个等于a

Answer 2

x+y+z=a,
1/x+1/y+1/z=1/a=1/（x+y+z)
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1
(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz=0
(x+y+z)[y(x+z)+zx(x+y+z)-xyz=0
(x+y+z)y(x+z)+zx(x+z)=0
(x+z)(xy+y^2+yz+xz)=0
(x+z)(x+y)(y+z)=0
(a-y)(a-z)(a-x)=0
,x,y,z 中至少有一个等于a

Answer 3

题目有问题吧, 是不是条件不足?

取 x=y=z=1, a=3 就满足条件, 但 x,y,z 都不等于 a.