Question

高一数学函数题。急！

设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）讨论f(x)的奇偶性
（2）求f(x)的最小值

谢谢拉～

Answer 1

设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）讨论f(x)的奇偶性
a=0,f(x)为偶函数，a不等于零，f(x)非奇非偶
（2）求f(x)的最小值
x>=a f(x)=x²+|x-a|+1=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
x<a f(x)=x²+|x-a|+1=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
a=0 f(x)的最小值=3/4
a>0 f(x)的最小值=-a+3/4
a<0 f(x)的最小值=a+3/4

Answer 2

1) f(x) – f(-x) = x2+|x-a| + 1 – (x2 + |x-a| + 1)
=|x-a|-|x+a|
这个式子只有在a=0的时候才恒等于0
f(x) + f(-x) = 2x2 + |x-a|+|x+a|+2
这个式子大于等于2，永远不可能为0
因此，a=0的时候f(x)是偶函数，其他情况f(x)非奇非偶。
2）通过x的取值区间把绝对值去掉，得到
f(x) = x2+x-a+1 = (x-1/2)2 –a + 3/4 x>a 1)
f(x) = x2-x+a+1 = (x+1/2)2 +a + 3/4 x<=a 2)

当a<= -1/2 时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2 式的f(x)min = f(a)= a2+1
比较两个最小值综合起来 f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时，1式的f(x)min = f(a) = a2++2a+1
2 式的f(x)min = f(-1/2)= =a + 3/4
比较两个最小值综合起来 f(x)min = a + 3/4

因此最终当a<= -1/2 时，f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时，f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时，f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时，f(x)min = a + 3/4

百度上也有其他解法，但是我认为那个解法考虑的不够周全，他的解法每次都只考虑了其中的一种情况，如x>a而没有把x<a的那部分图形综合起来考虑，函数完全有可能在x>a的部分取得一个极小值，但是却不是整个函数的最小值，这个最小值完全有可能出现在x<a的那个部分当中。