Question

一个高二数学题

已知椭圆C X2/a2+y2/b2的离心率e=1/2,且它过点（1，3/2)设斜率为K的直线L1交椭圆C于不同的两点P,Q，且P,Q的中点T在直线L2:X=1上，
1）求椭圆的方程
2）弦PQ的垂直平分线恒过定点R
3是判断三角形PQR能否能否为等边三角形，若能说明理由，若不能，说明理由
一，二问，我会做，请帮忙解决第三问

Answer 1

1、e=c／a=½,a²＝b²＋c²解得a²=4c²,b²=3c²,椭圆方程变为x²／(4c²)＋y²／(3c²)=1,将（1,3／2）带入解得c=1,则a²＝4,b²=3,椭圆方程为x²／4＋y²／3＝1
2、设P（x1,y1）Q(x2,y2),直线方程为y=kx+m，带入椭圆方程得（4k²＋3）x²＋8kmx+4m²-12=0
x1+x2=-8km／（4k²＋3）=2（题知）.........①,y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m／（4k²＋3）,
中点坐标为（1，3m／（4k²＋3）），PQ垂直平分线方程为y=-1／k(x-1)＋3m／（4k²＋3））
联立①整理得4x-1+4ky=0，显然直线恒过（1／4,0），就是R
3、

Answer 2

L1过（1，3/2）且L1与椭圆相交得到的弦PQ的中点在X=1上
→L1垂直X轴，L1的斜率不存在
→题中说L1的斜率为K→矛盾！