AD是圆O的直径,BC切圆O于点D,AB,AC与圆O相交于E.F,求证AE×AB=AF×AC(3种解法)

我叫郑奕豪
2011-01-21 · TA获得超过2.6万个赞
知道大有可为答主
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你好:

1)如图1.
连接DE、DF,AD为直径,则∠AED=90°=∠ADB;又∠BAD=∠BAD。
则△AED∽△ADB,AD/AE=AB/AD,AD^2=AE×AB⑴;
同理△AFD∽△ADC,AD/AF=AC/AD,AD^2=AF×AC⑵。
∴AE×AB=AF×AC

2)如图2.结论依然成立。
过点D作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于B',C'。
则AB/AB'=AC/AC',AB×AC'=AC×AB'⑴;
又AD⊥BC,则AD⊥B’C’。连接DE、DF,则1)的结论可知:AE×AB’=AF×AC’⑵
⑴×2)得:AE×AB×(AB'AC')=AF×AC×(AB'×AC')
故:AE×AB=AF×AC。

3)如图3。结论依然成立。
过点D作BC的平行线,分别交AB、AC于B',C'。
则AB/AB'=AC/AC',AB×AC'=AC×AB'⑶;
又AD'⊥BC,则AD⊥B’C’。连接DE、DF,则1)的结论可知:AE×AB’=AF×AC’⑷
⑶×⑷得:AE×AB×(AB'AC')=AF×AC×(AB'×AC')
故:AE×AB=AF×AC。

参考资料: http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/57/79/80/1657577980.16497295.jpg

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