Question

求解一道数学函数题

设 f(x)是（负无穷，正无穷）上的奇函数，f (x+2)= —f (x) ，当0≤x≤1时，f (x)=x,则f (7.5)等于？

Answer 1

由已知得 f(x+2)=-f(x)=f(x-2) [迭代法]
所以 T=4 f(x)=f(x-4)
f(7.5)=f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5 [奇函数性质]

或者

f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)
因为是奇函数 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

楼上回答的也对

Answer 2

f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x).
所以函数周期为4。
∴f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。

Answer 3

因为函数是R上奇函数,所以f(0)=0.且f(x+2)=-f(x),所以f(0)=f(-2+2)=-f(-2)=f(2)=0,所以函数的周期T=2.当0≤x≤1时,f (x)=x,所以f(0.5)=0.5,f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,且周期为2,所以f(7.5)=f(5.5)=f(3.5)=f(1.5)=f(-0.5)=-0.5

Answer 4

f(2)=-f(0), f(3)=-f(1)...... 因为是奇函数，所以当-1<=x<=0时，f(x)=-x,
然后就可以画出图像，得f (7.5)=-1/2
或者用f (7.5)= —f (5.5)，f (5.5)= —f (3.5)，f (3.5)= —f (1.5)，f (1.5)= —f (-0.5)， f (-0.5)= —f (0.5)= -0.5。综上。得解。