Question

高中圆锥曲线问题

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率e=（根号2）/2，点F是椭圆的右焦点，A,B分别是椭圆的左，右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足向量MF*向量FB=（根号2）-1。
（1）求椭圆C的方程
（2）是否存在斜率为1的直线L，当直线L交椭圆C于P,Q两点时，使向量FP*向量MQ=0？若存在，求出直线L的方程：若不存在，请说出理由。 （需要详细过程。好的另外加分）

Answer 1

1、有题知c／a=e=√2／2,a=√2c,M(0,b),A(-a,0),B(a,0)
向量MF=（c,-b）,FB=(a-c,0),,有题知向量关系得（a-c）c=√2-1,结合a=√2c,解得c=1,a²=2,b²=1
椭圆方程为x²／2＋y²＝1
2、设所求直线存在，设为y=x+m带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²-2=0,x1+x2=-4m／3,
x1x2=(2m²-2)／3,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m²
两向量积=0，即两直线垂直。即两斜率积=-1，即y1／（x1-1）×y2／（x2-1）=-1
即y1y2+(x1-1)(x2-1)=0,即y1y2+x1x2-(x1+x2)+1=0,把上面的结论带入解得m=±√7／3-2／3
所求直线方程为y=x±√7／3-2／3.

Answer 2

1.解：P（-1，√2/2），B(c，0)，m(0,y)
又线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点，所以0=（-1+c）/2，c=1
所以b^2=a^2-1，代入椭圆方程
x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1
点P（-1，√2/2）在椭圆上，1/a^2+(1/2)/(a^2-1)=1
解a^2=2，所以b^2=2-1=1
所以椭圆的标准方程为x^2/2+y^2=1
2.解：设所求直线存在，设为y=x+m带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²-2=0,x1+x2=-4m／3,
x1x2=(2m²-2)／3,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m²
两向量积=0，即两直线垂直。即两斜率积=-1，即y1／（x1-1）×y2／（x2-1）=-1
即y1y2+(x1-1)(x2-1)=0,即y1y2+x1x2-(x1+x2)+1=0,把上面的结论带入解得m=±√7／3-2／3
所求直线方程为y=x±√7／3-2／3。

Answer 3

【1】椭圆C:(x²/2)+y²=1.【2】可设直线L∶y=x+t.与椭圆方程(x²/2)+y²=1联立得∶3x²+4tx+2(t²-1)=0.
⊿=8(3-t²)＞0. ∴t²＜3.设点P(p,p+t),Q(q,q+t),由韦达定理可得p+q=-(4t)/3,pq=2(t²-1)/3.
又点F(1,0),M(0,1), ∴向量FP•MQ=(p-1,p+t) •(q,q+t-1)=0. ∴(p-1)q+(p+t)(q+t-1)=0.整理可得2pq+(t-1)(p+q)+t²-t=0.将韦达定理结果代入，整理可得3t²+t-4=0.解得t1=1,t2=-4/3.均满足t²＜3. ∴直线L∶y=x+1,或y=x-(4/3).

Answer 4

你好像没有说明白啊！