Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD//BC,,∠ABC=90°PD⊥面ABCD,AD=1,AB=根号3，BC=4,求证：BD⊥

PC
2,求直线AB与平面PDC所成角的大小

Answer 1

过点D作DE⊥BC交BC于点E，连接PE，则AB‖DE，
①依题意可得DE=AB=√3，BE=AD=1，所以CE=BC－BE=3，
所以BD=2，CD=2√3，
则可得BD＋CD=BC，
所以BD⊥CD，
因为PA⊥面ABCD，
所以PA⊥BD，
所以BD⊥面PCD，
则BD⊥PC；
②令直线DE与平面PDC所成角为a，点E到平面PDC的距离为h，则
三棱锥P-CDE的面积为S=1/3*1/2*DE*CE*PD=1/3*1/2*CD*PD*h，
所以h=3/2，
sin a=h/DE=√3/2，
所以角a=60°，a为所求。