Question

如图，在平面直角坐标系中，点P是直线y=-0.5x+3在第一象限内的一点，点A在x轴的正半轴上.连接OP，pA.

（1）若点P的横坐标为√3m，点A的坐标为（2m，0），试用含m的式子表示△OPA的面积S.
（2）对于（2）中，当S=2时.试求（√m³+6m²+m）/m-2√3（m+2）（m-2）-8√3的值.
（3）若点A的坐标为（4，0），问：在直线y=-0.5x+3上是否存在一点P，使得△OPA是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）对于（2）中，当S=2时.试求（√3m³+6m²+m）/m-2√3（m+2）（m-2）-8√3的值.

Answer 1

(1) △OPA底为OA(=2m; m>0)， 高为P的纵坐标h= -0.5√3m +3
S = (1/2)*2m* (-0.5√3m +3) = m(3 - √3m/2)

(2) S = 2, 可解出m, 带入即可（原题不太清楚).

(3) a: |OA| = |OP|, |OA|^2 = |OP|^2
|OA|^2 = 16
|OP|^2 = x^2 + (3-x/2)^2 = 16
x = (6+4√11)/5 ((6-4√11)/5 < 0, 舍去)
y = (12-2√11)/5

b: |OP| = |PA|, |OP|^2 = |PA|^2
x^2 + (3-x/2)^2 = (x-4)^2 + (3-x/2)^2
x = 2, y = 2

c: |OA| = |PA|, |OA|^2 = |PA|^2
16 = (x-4)^2 + (3-x/2)^2
x = (22-4√19)/5 ( (22-4√19)/5使y< 0, 舍去)
y = 4(1+√19)/5