Question

高中数学。。导数问题

已知函数f(x)=1/2x²+lnx
求证：在区间(1,+∞）上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x³的图像下方

Answer 1

令 h(x) = g(x) - f(x) = 2/3x³ - 1/2x² - lnx
h(1) = 2/3 - 1/2 = 1/6 > 0
表明在x=1处，g(x)的图像在 f(x)的上方。
dh/dx = 2x² - x - 1/x
= [2x³ - x² - 1]/x
= [2x³ - 2x² + x² - 1]/x
= [2x² (x - 1) + (x-1)(x+1)]/x
= (x - 1)(2x² + x + 1)]/x
when x > 1, dh/dx > 0
这表示 h(x) 是严格递增函数，即：距离越来越大。
也就是说，从x〉1开始，g(x)的图像永远在f(x)的图像之上。

Answer 2

设F（x）=g(x)-f(x)
则F（1）＞0，
且在区间(1,+∞）上，F（x）的导数＞0
所以g(x)-f(x)＞0，
所以
在区间(1,+∞）上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x³的图像下方