Question

数学高手进：已知函数f（x）=ln（x²+mx+1），（m∈R） （1）当x∈[0,2]，求f（x）的最小值（用m表示

是否存在不同的实数a，b，使得e^f（a）=a，e^f（b）=b，并且a，b∈（0,2），若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。
求解，具体过程，拜托，晚上10点之前，求求你们了。

Answer 1

设g（x）=In（x2+mx＋1) m（x）=f（g（x））
f(x）有意义∴ m2-4＞0 ∴m>2或m<-2
（1）因为g（x）的对称轴为-m/2，故此时变为固定定义域，对称轴不定的情况
①：当对称轴在区间左边就，即-m/2<0 m＞2时 g（x）在[0,2]递增，在x=0处取得最小值m（x）是增函数
∴f（x)在 x＝o处取得最小值 最小值为 f(x)=0
②：当对称轴在区间内时, 0<-m/2<2 即 -4<m<-2时 g（x）在[0，2]中先减少后增加， 在-m/2处取得最小值。m(x)是增函数∴f（x）在-m/2处取得最小值，为In(1-m2/4)
③：当对称轴在定义域的右边时，即-m/2>2 ∴m<-4时 g(x) 在[0，2]递减，因此在x=2处取得最小值。m(x)是增函数∴f(x)在x＝2处取得最小值为In(2m+5)
(2)由上一问可知，在①③种情况中 g(x)为单调函数，∴不存在满足条件的a,b
在第二种情况中， 即m∈(-4，-2）时，g(x)先减少后曾加，因此存在两个不等a,b的x使得g(x)的值相等，从而使f(a)=f(b),进而满足体重条件

Answer 2

第一问 当m<=-2，最小值不存在
-2<m<0 最小值为f(-m/2)=(4-m^2)/4
m>=0 为f(0)=0
第二问
设e^f（t）=t ∈（0,2)
则t²+mt+1=t
t²+(m-1)t+1=0
f(0)=1>0
f(2)=2m+3>0
0<(1-m)/2<2
最后得-1.5<m<1

Answer 3

第一问有点繁,直接给第二问答案:
原题即:a，b∈（0,2）是方程x²+(m-1)x+1=0的两个根,
令g(x)=x²+(m-1)x+1
所以g(0)=1＞0,解g(2)＞0，g[(-m+1)/2]＜0，及0＜(-m+1)/2＜2得:-3/2＜m＜-1