Question

1.设f(x)为R上的减函数,如果不等式f(a+2)<f(1+ax-x^2)<f(3ax-1),对于任意x属于[0,1]成立，求a的取值范围

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Answer 1

∵不等式f(a+2)<f(1+ax-x^2)<f(3ax-1),对于任意x属于[0,1]成立，且f(x)为R上的减函数
∴a+2>1+ax-x^2>3ax-1对于任意x属于[0,1]恒成立
即x^2-ax+a+1>0和x^2+2ax-2<0对于任意的x属于[0,1]恒成立
(1)研究不等式x^2-ax+a+1>0
当x=1时,有2>0恒成立
当0<=x<1时,有a>-(x^2+1)/(1-x)对于任意的x∈[0,1)恒成立
令g(x)=-(x^2+1)/(1-x),x∈[0,1),
g'(x)=(x^2-2x-1)/(1-x)^2<0,g(x)在[0,1)递减
而a>-(x^2+1)/(1-x)对于任意的x∈[0,1)恒成立
∴a>g(x)max=g(0)=-1
(2)研究不等式x^2+2ax-2<0
当x=0时,-2<0恒成立
当0<x<=1时,有a<(2-x^2)/(2x)对于任意的x∈(0,1]恒成立
而函数y=1/x与函数y=-x/2在(0,1]上均为减函数，所以函数y=1/x-x/2=(2-x^2)/(2x)在(0,1]上也为减函数,x=1时,y取得最小值为1/2
而a<(2-x^2)/(2x)对于任意的x∈(0,1]恒成立
∴a<{(2-x^2)/(2x)}min=1/2

综上有-1<a<1/2