Question

过点P(1,2)的直线交圆(x-2)^2+y^2=9于点A、B两点,若点P是弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程是

Answer 1

设过点P(1, 2)的弦AB的直线方程为
y - 2 = k(x - 1) (其中k为斜率)
y = kx - k + 2

将直线与圆的方程联立:
代y = kx - k + 2入圆的方程
(x - 2)² + y² = 9
(x - 2)² + (kx - k + 2)² = 9
化简为(k² + 1)x² + (-2k² + 4k - 4)x + (k² - 4k - 1) = 0

由韦达定理, 得x1 + x2 = -(-2k² + 4k - 4)/(k² + 1), 其中x1, x2为交点A, B的横坐标
利用中点坐标公式得, (x1 + x2)/2 = 1 (中点P的横坐标为1)
联立两式, 得x1 + x2 = -(-2k² + 4k - 4)/(k² + 1) = 2
化简得:2k² - 4k + 4 = 2k² + 2
k = 1/2
∴弦AB的直线方程为y = (1/2)x - 1/2 + 2
化简得 x - 2y + 3 = 0

Answer 2

P是AB的中点，那么圆心与P的连线应该是垂直于AB，OP⊥AB
圆心O（2,0） P（1,2）
OP斜率为-2
所以AB斜率为1/2
又AB过点P
所以AB方程为x-2y+3=0