Question

在三角形ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA，PC为邻边做平行四边形APCD,AC与PD相交于点E

已知∠ABC=∠AEP(o°＜α＜90°).EEO
(1)求证∠EAP=∠EPA
(2)平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由.
(3)若F为BC中点，连接EP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN,猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

证明：（1）在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）答：?APCD是矩形．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴?APCD是矩形．

（3）答：EM=EN．
∵EA=EP，
∴∠EPA=90°- 1/2α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°- 1/2α）=90°+ 1/2α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- 1/2α+α=90°+ 1/2α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN即∠MEA=∠NEP，
∴△EAM≌△EPN，
∴EM=EN．

Answer 2

证明：（1）在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．
（2）答：平行四边形APCD是矩形．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴?APCD是矩形．
（3）答：EM=EN．
∵EA=EP，
∴∠EPA=90°- 1/2α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°- 1/2α）=90°+ 1/2α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- 1/2α+α=90°+ 1/2α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN即∠MEA=∠NEP，
∴△EAM≌△EPN，
∴EM=EN．