Question

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2向

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2向量FB。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果lABl=15/4,求椭圆C的方程。
希望各位高手写出详细解题过程

Answer 1

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2FB.
(1)求椭圆C的离心率。
(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、
(1)解析：∵椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），∴其右焦点F(c,0)
设AB为x=my+c==>x^2=m^2y^2+2mcy+c^2
代入椭圆(b^2m^2+a^2)y^2+2b^2mcy+b^2c^2-a^2b^2=0
由韦达定理y1+y2=-2b^2mc/(b^2m^2+a^2)，y1y2=( b^2c^2-a^2b^2)/(b^2m^2+a^2)
∵直线l的倾斜角为60度，∴m=√3/3
y1+y2=-2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)] ，y1y2=( -b^4)/(b^2/3+a^2)
∵向量AF=2FB，即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), 即y1=-2y2
∴y2=2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)]
y2^2=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
∴4b^4c^2/[3(b^2/3+a^2)^2]=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
8c^2/(b^2+3a^2)=1
8c^2=b^2+3a^2==>9c^2=4a^2==>e=2/3

(2)解析：|AB|=√(1+m^2)*|y1-y2|=15/4
2√3/3*|y1-y2|=15/4==>|y1-y2|=15√3/8
由(1)知y1=-2y2==>y2=5√3/8
∵e=2/3，∴c=2/3a，b=√5/3a
y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)==>y2=5√3/24a
∴a=3, b=√5
∴x^2/9+y^2/5=1

极坐标法：
解析：椭圆极坐标方程：ρ=ep/(1-ecosθ) (0＜e＜1,p为焦点到准线的距离)
∵|AF|=2|BF|
∴ep/(1-ecos60°)=2ep/(1-ecos240°)
∴e=2/3
(2)ep/(1-ecos60°)+ep/(1-ecos240°)=15/4
e=c/a=2/3
p=b^2/c=(a^2-c^2)/c=5/2
a^2=9
c^2=4
b^2=5
方程即为x^2/9+y^2/5=1

Answer 2

(1)记A,B横坐标分别为x1,x2
向量AF=2向量FB
由定比分点得(x1+2x2)/3=-c
即x1+2x2=-3c
由第二定义可得|AF|/(x1+a²/c)=c/a
则焦半径|AF|=cx1/a+a
同理|BF|=cx2/a+a
|AF|+2|BF|=2|AF|=c(x1+2x2)/a+3a
则|AF|=-3c^2/2a+3a/2 ①
由|AF|=2|BF|得x1-2x2=a^2/c ②

根据图像分析得
x2+a²/c=a²/c-c-|BF|cos60°
x1+a²/c=a²/c-c+|AF|cos60°
x2=-c-|AF|/4
x1=-c+|AF|/2
①②==>x1-2x2=c+|AF|=c-3c^2/2a+3a/2=a^2/c
1-3e/2+3/2e=1/e^2==>1-1/e^2=3(e-1/e)/2
==>(e^2-1)/e^2=3(e^2-1)/2e得e=2/3

(2)c=2a/3
|AB|=|AF|+|BF|=3|AF|/2=-9c^2/4a+9a/4
=-a+9a/4=5a/4=15/4 得a=3
椭圆C的方程为x^2/9+y^2/5=1

Answer 3

弦长公式:|AB|=|x1-x2|√(1+k^2),
或,|AB|=:|AB|=|y1-y2|√(1+1/k^2),
AB椭圆的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=|x1-x2|√[1+(y1-y2)^2/(x1-x2)^2]=|x1-x2|√(1+k^2)
或|AB|=|y1-y2|√[(x1-x2)^2/(y1-y2)^2+1]=|y1-y2|√(1+1/k^2).
直线斜率k=tan60°=√3,
∴直线y=√3(x+c), k=√3,
∴|AB|=|y1-y2|√[1+(1/√3)^2]=(2/√3)|y1-y2|=15/4.
∵向量AF=2FB,
∴|AF|=2|FB|,
|y1|=2|y2|,y2为正,y1为负,
∴y1=-2y2,
∴3y2*2/√3=15/4,
∴y2=5√3/8,y1=-5√3/4,
这里很麻烦，y1=-(2|AB|/3)*sin60°=-（2/3）*（15/4）*√3/2=-5√3/4，
y2=|AB|/3)*sin60°=5√3/8.
以上是我给你对答案的解释。

以下是我的解法。
作椭圆的左准线l,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足A1、B1，
离心率e,根据第二定义，
AF/AA1=BF/BB1=e,(绝对值符号省略）
AF/BF=AA1/BB1=2，
作BH⊥AA1，A1H=BB1，
∴A1H=AH，
∴BH是AA1的垂直平分线，
∴△AA1B是正△，
∴AA1=AB，
∴e=AF/AA1=2/3,
c/a=2/3,
c=2a/3,
b=√（a^2-4a^2/9)=√5a/3,
利用焦点弦公式：|AB|=2ab^2/[a^2-c^2(cosθ)^2]=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ)^2]
=[2*5a^2/(9a)]/[1-(4/9)*1/4]=15/4,
(10a/9)/(1-1/9)=15/4,
5a/4=15/4,
∴a=3,
b=√5，
∴椭圆方程为：x^2/9+y^2/5=1.

我给你证明了公式和过程，但在此题中用该公式较烦琐。